Петр Иванович Савинцев родился 29 июля 1921 года в селе Лачиново Крапивенского района Новосибирской области в семье рабочего-железнодорожника. В 1929 году поступил в среднюю школу в г.Белово Новосибирской области.Имея прирождённый музыкальный слух, уже в 15 лет стал преподавателем музыки и пения в средней школе № 3 в посёлке Салаир Гурьевского района, где в средней школе № 24 и получил диплом с отличием по окончании в 1939 году.
В 1939 году поступил в Московский электромеханический институт инженеров железнодорожного транспорта им. Дзержинского, однако в этом же году поступил также в авиационное училище в г.Харькове.
Окончив его в 1940 году, работал механиком, а затем помощником командира взвода до 1941 года. Во время войны в 20 лет был зачислен курсантом в школу пилотов в г.Гомель, которую затем закончил в г. Уфе в 1942 году.
Затем был направлен в боевую школу летчиков-штурмовиков в г.Ульяновске, где затем был летчиком-инструктором до окончания войны. В 1945 году по состоянию здоровья был демобилизован из летного состава.
Однако в этом же году начальник Ульяновской военной авиационной школы пилотов Н.Михевичев написал ходатайственное письмо директору Московской консерватории В.Шебалину и декану композиторского факультета И.Способину.
Входотайстве содержалась просьба о зачислении Петра Савинцева в Московскую консерваторию на композиторский факультет. В 1945 году он поступил в Музыкальное училище при Московской консерватории им. П.И.Чайковского.
Там Савинцев обучался на теоретико-композиторском отделении до 1948 года. В 1948 году поступил в Московскую консерваторию им. П.И.Чайковского в класс педагога Н.Рукавишниковой-Туманиной.
Параллельно он поступил в Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова на исторический факультет.
Окончив в июле 1953 году обучение в Консерватории на теоретико-композиторском факультете и защитив диплом по теме «Опера Молчанова „Каменный цветок“ (к вопросу о сказочном жанре в советском оперном творчестве»),
получил диплом с отличием по специальности «История музыки» и с присвоенной квалификацией музыковеда-историка. Во время учёбы дважды был сталинским стипендиатом и секретарем партийной организации факультета.
Принимал активное участие в общественно-политической жизни Консерватории.В 1953 году поступил в очную аспирантуру Московской консерватории по специальности «История музыки».
Под научным руководством Н.Рукавишниковой-Туманиной начал подготовку диссертации по теме «Очерки творчества Ю.Шапорина», которую защитил в 1956 году.
В Москве одновременно с учёбой работал в Министерстве геологии, а также в Министерстве строительства в качестве художественного руководителя самодеятельности и духового оркестра (1948-53 гг.).
В конце 1956 года был приглашен на постоянную работу в аппарат ЦК КПСС на должность инструктора отдела культуры. Второй секретарь правления Союза композиторов СССР (1961-80 гг.).
Тесно работал на протяжении многих лет с Тихоном Хренниковым. Несмотря на активную работу в Союзе композиторов, был также композитором (песни и произведения для фортепиано, флейты, гитары, виолончели, аккордеона, баяна).
Скончался 20 августа 1996 года, похоронен в Москве на Востряковском кладбище.