Борис Александрович Ривчун родился 13 января 1947 года в Москве в семье заслуженного артиста РСФСР, композитора, музыканта (кларнет, саксофон) и педагога Александра Борисовича Ривчуна (1914 - 1974).Дед Б.А.Ривчуна - дирижёр, руководитель оркестра.
Борис Ривчун окончил Государственное музыкальное училище имени Гнесиных, Московскую государственную консерваторию имени П.И.Чайковского, включая аспирантуру.
В своём композиторском творчестве Борис Ривчун сочетает академическую музыку, джаз, эстрадную песню, хоровую и театральную музыку.
Одно из наиболее значительных произведений композитора - хоровой цикл на стихи А.Фета, написанный для Государственной хоровой капеллы мальчиков.
Б.Ривчун известен и как автор музыки к драматическим постановкам. Во МХАТе имени Чехова был поставлен спектакль «Репетитор» с его музыкой.
Заметно сотрудничество композитора с театром «Шалом». Среди постановок с его музыкой - спектакль по пьесе Ильи Эренбурга «Шлимазл», «Кабаре Карела Швенка» по пьесе Бориса Рацера,
детские спектакли – мюзиклы «Ну, волк, погоди!», «А третий пингвин в чемодане».
Педагогическая деятельность Б.А.Ривчуна осуществлялась в РАМ имени Гнесиных (ныне Российская академия музыки) и Российском государственном гуманитарном университете.